Abstract
The idea of operation was initiated for the first time by Kasahara[1], and he investigated the properties of α-continuous functions and α-closed graph of operation μ. After then Krishnan and Balachandran[2], [3] applied operation μ to define a new type of semi-open and pre-open namely μ semi-open and μ pre-open sets. Consequently, Hariwan[4] gave an overview of μb-open set and μb-continuous functions along with shown some general characteristics of various separation axioms. In 2001, Maki and Noiri [5] used bi-operation notion to study [μ,μ^* ]-open sets which several characterizations are obtained. Since that many researchers have identified various kinds of open sets regarding different topologies by using operation.
Conclusion:
The notion of operation has an essential position to describe new concepts in topology such as continuity, compactness, and separation axioms. In this work, we recalled the definitions of various types of open sets regarding operation and overview the relations among these sets and compare the results through previous studies. Later, many researchers were interested to establish new types of open sets regarding to bi-operation instead of using operation. Comparisons of different open sets regarding operation and bi-operation have been made. Furthermore, we summarized some applications for these sets for operation and bi-operation and explained their relationships. Finally, it would be useful to use this principle to research these features in soft and micro topology in the future.
Conclusion:
The notion of operation has an essential position to describe new concepts in topology such as continuity, compactness, and separation axioms. In this work, we recalled the definitions of various types of open sets regarding operation and overview the relations among these sets and compare the results through previous studies. Later, many researchers were interested to establish new types of open sets regarding to bi-operation instead of using operation. Comparisons of different open sets regarding operation and bi-operation have been made. Furthermore, we summarized some applications for these sets for operation and bi-operation and explained their relationships. Finally, it would be useful to use this principle to research these features in soft and micro topology in the future.
Keywords
bi-operation
Operation
sp[μ
μ pre-open set
μ semi-open set
μ^(* ) ]-open set.
Abstract
مقدمة:
مفهوم عامل التشغيل تم تعريفه لأول مرة من قبلkasahara حيث قام بدراسة خواص الدوال المستمرة من النمط αوالرسم البياني المغلق من النمط α بواسطة عامل التشغيل μ بعد ذلك قام كل من Krishnan و Balachandran بأستخدام عامل التشغيل μ لتعريف نوع جديد من المجموعات شبه المفتوحه و المجموعات المفتوحه اوليا اسماها المجموعات شبه المفتوحه μ و المجموعات المفتوحه اوليا μ في عام 2001 اسستخدم كل من Maki و Noiri مفهوم ثنائي عامل التشغيل لدراسة المجموعة المفتوحه بحيث تم الحصول على تمييزات عدة ومن ذاك قام العديد من الباحثين بدراسة وتحقيق انواع مختلفة من المجموعات المفتوحة[μ,μ^(* ) ]- وذلك من خلال استخدام ثنائي عامل التشغيل .
الاستنتاجات:
مفهوم عامل التشغيل لعب دورا مهما ورئيسيا في وصف عدة مفاهيم في توبولوجيا مثل الاستمرارية و التراص وبديهيات الفصل .في هذا العمل قمنا بأستدعاء تعاريف عدة حول انواع متعددة من المجموعات المفتوحة باستخدام عامل التشغيل حيث قمنا بمراجعة العديد من العلاقات بين هذه المجموعات المختلفة و مقارنة النتائج المختلفة في الدراسات السابقة بعد ذلك اهتم العديد من الباحثين بدراسة المجموعات المفتوحة باستخدام ثنائي عامل التشغيل بدلا من احادي عامل التشغيل ولذلك قمنا ببحث العلاقات بين المجموعات المفتوحة باستخدام احادي عامل التشغيل و المجموعات المفتوحة بأستخدام ثنائية عامل التشغيل واخيرا يمكن استخدام هذا المفهوم في دراسات مستقبلية وعلى سبيل المثال دراسة خصائصه في توبولوجي الدقيق و الناعم.
مفهوم عامل التشغيل تم تعريفه لأول مرة من قبلkasahara حيث قام بدراسة خواص الدوال المستمرة من النمط αوالرسم البياني المغلق من النمط α بواسطة عامل التشغيل μ بعد ذلك قام كل من Krishnan و Balachandran بأستخدام عامل التشغيل μ لتعريف نوع جديد من المجموعات شبه المفتوحه و المجموعات المفتوحه اوليا اسماها المجموعات شبه المفتوحه μ و المجموعات المفتوحه اوليا μ في عام 2001 اسستخدم كل من Maki و Noiri مفهوم ثنائي عامل التشغيل لدراسة المجموعة المفتوحه بحيث تم الحصول على تمييزات عدة ومن ذاك قام العديد من الباحثين بدراسة وتحقيق انواع مختلفة من المجموعات المفتوحة[μ,μ^(* ) ]- وذلك من خلال استخدام ثنائي عامل التشغيل .
الاستنتاجات:
مفهوم عامل التشغيل لعب دورا مهما ورئيسيا في وصف عدة مفاهيم في توبولوجيا مثل الاستمرارية و التراص وبديهيات الفصل .في هذا العمل قمنا بأستدعاء تعاريف عدة حول انواع متعددة من المجموعات المفتوحة باستخدام عامل التشغيل حيث قمنا بمراجعة العديد من العلاقات بين هذه المجموعات المختلفة و مقارنة النتائج المختلفة في الدراسات السابقة بعد ذلك اهتم العديد من الباحثين بدراسة المجموعات المفتوحة باستخدام ثنائي عامل التشغيل بدلا من احادي عامل التشغيل ولذلك قمنا ببحث العلاقات بين المجموعات المفتوحة باستخدام احادي عامل التشغيل و المجموعات المفتوحة بأستخدام ثنائية عامل التشغيل واخيرا يمكن استخدام هذا المفهوم في دراسات مستقبلية وعلى سبيل المثال دراسة خصائصه في توبولوجي الدقيق و الناعم.
Keywords
μ^(* ) ].
ثنائي عامل التشغيل
عامل التشغيل
مجموعة المفتوحة sp[μ
مجموعة المفتوحة اوليا μ
مجموعة شبه المفتوحة μ